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The application of group theory in analysis is the study of automorphic function.
其在分析中的应用就是自守函数理论的研究。
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In Section 3.1, some basic properties of almost automorphic functions and functions with 0 mean value are investigated.
sect；3.1主要研究了概自守函数和具有零平均值的函数的一些基本性质。
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In chapter 3, the two-dimensional nonautonomous Volterra-Lotka competition equations are considered which are continuous almost automorphic in time.
指出在相同的假设条件下，如果系统的系数函数是连续几乎自守的，则该系统存在一个几乎自守解。
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By employing the Jordan-Wigner transformation and a modified mean field method, we are able to determine its ground-state quantum phase diagram approximately. The chapter IV is the main part of this Thesis. It contains the main innovations in our work. We propose and study in detail a S=1 Ising chain with the interplay of single-ion anisotropy and dimerization. The main results and innovations are the following: We show that the total number of the zero-component of spins at each site is a conserved quantity. This quantity, which may intuitively called as hole's quantum number, is hidden in the system. We show further that the hole's number in the ground-state is zero; By using the Jordan-Wigner transformation, we map this model onto a series of subsystems described by the spin 1/2 dimerized transverse Ising model. We solve the subsystems exactly, by presenting the exact wave functions and spectra;We show that this system exhibits a series of quantum phase transitions by varying the dimerization strength. We determine the quantum critical points exactly. We also show that the criticality is the same as that of the uniform S = 1/2 transverse Ising chain.
第四章是本文的重点及主要创新内容，我们具体研究了自旋为1的在横向单离子晶格场中的一维二聚化Ising链，我们得到的主要结果和创新之处是：(1)证明了这一模型具有一种隐藏的对称性，即自旋第三分量为零的格点数目是一个守恒量，并证明基态出现在空穴数目为零的子空间中；(2)利用Jordan-Wigner 变换将此模型变换到一系列自旋为1/2的横磁场中的二聚化Ising 模型，并给出了相应严格的波函数及能谱；(3)我们发现系统的基态随着二聚化强度的变化将呈现出一系列量子相变，我们得到了量子临界点的精确位置，并证明其临界性质与自旋为1/2的横磁场中的均匀Ising 链中的临界行为属于同一普适类。
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Algebraic Topology：代數拓樸
彭加勒的数学贡献大又多,一般认为他开创了代数拓朴(algebraic topology)、多复变函数、及混沌(chaos)理论. 另外关于自守函数梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的. 它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,
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analytic：解析
第十九题 拉格朗日系统(Lagrangian)之解是否皆可解析(Analytic) 已解决. 1904年由伯恩斯坦(Serge Bernstein)解决. 第二十题 所有有界限条件的变量问题(Variational problem)是否都有解 已解决第二十二题 以自守函数(Automorphic functions)一致化可解析关系 已解决.
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automorphic form：自守形式
automaton graph 自动机图 | automorphic form 自守形式 | automorphic function 自守函数
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automorphic form：自守形
自守 automorph | 自守形 automorphic form | 自守函数 automorphic function
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automorphic form：自守式
790,"automorph","自守" | 791,"automorphic form","自守式" | 792,"automorphic function","自守函数"
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automorphic function：自守函数
他发展曲面的赋向(orientation)观念,证明有向曲面的分类对应於亏格 (genus),并且深入讨论不可赋向的射影面与 Klein 瓶. 另外,他在椭圆模函数 (elliptic modular function) 与自守函数 (automorphic function) 的工作,是 Klein 自认为他一生研究的颠峰.
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simple automorphic function：单自守函数
单属性分类 simple attributive classification | 单自守函数 simple automorphic function | 单丛 simple bundle
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automorphic function field：自守函数域
automorphic form | 自守形式 | automorphic function field | 自守函数域 | automorphic function | 自守函数
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elliptic modular function：椭圆模函数
他发展曲面的赋向(orientation)观念,证明有向曲面的分类对应於亏格 (genus),并且深入讨论不可赋向的射影面与 Klein 瓶. 另外,他在椭圆模函数 (elliptic modular function) 与自守函数 (automorphic function) 的工作,是 Klein 自认为他一生研究的颠峰.
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picard group：皮卡群
1883 1888年皮卡将庞加莱(Poincaré)自守函数的方法推广到二元复变函数,进而研究了代数曲面(1901),导致了"皮卡群"(Picard Group)的建立. 他推广了逐步逼近法,证明了含复变量的微分方程和积分方程的解的存在唯一性定理.